1.問題描述：
1-D信號壓縮傳感的實現(正交匹配追蹤法Orthogonal Matching Pursuit) 測量數M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信號長度,可以近乎完全重構
2.部分程序：
% 1-D信號壓縮傳感的實現(正交匹配追蹤法Orthogonal Matching Pursuit)
% 測量數M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信號長度,可以近乎完全重構
clc;clear
close all;
%% 1. 時域測試信號生成
K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出來)
N=512; % 信號長度
M=32; % 測量數(M>=K*log(N/K),至少40,但有出錯的概率)
f1=20; % 信號頻率1
fs=2045.2; % 采樣頻率
ts=1/fs; % 采樣間隔
Ts=1:N; % 采樣序列
x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts+pi/6); % 完整信號
%% 2. 時域信號壓縮傳感
Phi=0.5*randn(M,N); % 測量矩陣(高斯分布白噪聲)
s=Phi*x.'; % 獲得線性測量
%% 3. 正交匹配追蹤法重構信號(本質上是L_1范數最優化問題)
m=2*K; % 算法迭代次數(m>=K)
Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里葉正變換矩陣
T=Phi*Psi'; % 恢復矩陣(測量矩陣*正交反變換矩陣)
hat_y=zeros(1,N); % 待重構的譜域(變換域)向量
Aug_t=[]; % 增量矩陣(初始值為空矩陣)
r_n=s; % 殘差值
for times=1:m; % 迭代次數(有噪聲的情況下,該迭代次數為K)
for col=1:N; % 恢復矩陣的所有列向量
product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢復矩陣的列向量和殘差的投影系數(內積值)
end
[val,pos]=max(product); % 最大投影系數對應的位置
Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩陣擴充
T(:,pos)=zeros(M,1); % 選中的列置零（實質上應該去掉，為了簡單我把它置零）
aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使殘差最小
r_n=s-Aug_t*aug_y; % 殘差
pos_array(times)=pos; % 紀錄最大投影系數的位置
end
hat_y(pos_array)=aug_y; % 重構的譜域向量
hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里葉變換重構得到時域信號
%% 4. 恢復信號和原始信號對比
figure(1);
plot(hat_x,'k.-') % 重建信號
hold on;
plot(x,'r') % 原始信號
legend('Recovery','Original')
norm(hat_x.'-x)/norm(x) % 重構誤差
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